Painlevé transcendents

En matemáticas, Painlevé transcendents son soluciones de cierto segundo pedido no lineal ecuaciones diferenciales ordinarias en el avión complejo con la propiedad de Painlevé (las únicas singularidades movibles son polos), pero que no son generalmente solubles en términos de funciones elementales. Se descubrieron por, quien más tarde se hizo el primer ministro francés.

Historia

Painlevé transcendents tienen su origen en el estudio de funciones especiales, que a menudo se levantan como soluciones de ecuaciones diferenciales, así como en el estudio de deformaciones isomonodromic de ecuaciones diferenciales lineales. Una de las clases más útiles de funciones especiales es las funciones elípticas. Son definidos por el segundo pedido ecuaciones diferenciales ordinarias cuyas singularidades tienen la propiedad de Painlevé: las únicas singularidades movibles son polos. Esta propiedad es compartida por todas las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, pero es rara en ecuaciones no lineales. Poincaré y L. Fuchs mostraron que cualquier primera ecuación de pedido con la propiedad de Painlevé se puede transformar en la ecuación de Weierstrass o la ecuación de Riccati, que se puede todo solucionar explícitamente en términos de integración y funciones especiales antes conocidas. Émile Picard indicó que para pedidos mayores que 1, las singularidades esenciales movibles pueden ocurrir, e intentado y fracasado para encontrar nuevos ejemplos con la propiedad de Painleve. (Para pedidos mayores que 2 las soluciones pueden tener límites naturales móviles.) Alrededor de 1900, Paul Painlevé estudió segundas ecuaciones del diferencial de pedido sin singularidades movibles. Encontró esto hasta ciertas transformaciones, cada tal ecuación

de la forma

:

(con R una función racional) se puede poner en una de cincuenta formas canónicas (puesto en una lista en).

encontrado que cuarenta y cuatro de las cincuenta ecuaciones son reducibles en el sentido que se pueden solucionar en términos de funciones antes conocidas, dejando sólo seis ecuaciones que requieren la introducción de nuevas funciones especiales solucionarlos. (Había algunos errores computacionales con su trabajo, que fueron fijados por B. Gambier y R. Fuchs.) Era un problema abierto polémico durante muchos años para mostrar que estas seis ecuaciones realmente eran irreducibles para valores genéricos de los parámetros (son a veces reducibles para valores del parámetro especiales; véase abajo), pero esto finalmente se probó por y.

Este seis segundo pedido las ecuaciones diferenciales no lineales se llaman las ecuaciones de Painlevé y sus soluciones se llama Painlevé transcendents.

La forma más general de la sexta ecuación fue perdida por Painlevé, pero fue descubierta en 1905 por Richard Fuchs (el hijo de Lazarus Fuchs), como la ecuación diferencial satisfecha por la singularidad de un segundo pedido ecuación de Fuchsian con 4 puntos singulares regulares en P bajo la monodromy-conservación de deformaciones. Se añadió a la lista de Painlevé por.

intentado para ampliar el trabajo de Painlevé a ecuaciones de pedido más altas, encontrando algún tercero piden ecuaciones con la propiedad de Painlevé.

Lista de ecuaciones de Painlevé

Estas seis ecuaciones, Painlevé I-VI tradicionalmente llamado, son así:

: </LI>

: </LI>

:

t \left (\frac {dy} {dt} \right) ^2

- y\frac {dy} {dt} + \delta t + \beta y + \alpha y^3 + \gamma ty^4 </matemáticas> </LI>

:

\tfrac12 \left (\frac {dy} {dt} \right) ^2

+ \beta+2 (T^2-\alpha) y^2+4ty^3 +\tfrac32y^4 </matemáticas> </LI>

:

\frac {d^2y} {dt^2}

&=

\left (\frac {1} {2 y} + \frac {1} {y-1 }\\derecho) \left (\frac {dy} {dt} \right) ^2

- \frac {1} {t} \frac {dy} {dt }\\\

El &\\cuatrillizo +\frac {(y-1) ^2} {t }\\se fue (\alpha y + \frac {\\beta} {y }\\derecho) + \gamma\frac {y} {t} + \delta\frac {y (y +1)} {y-1 }\\\

Los \end {alinean} </matemáticas> </LI>

:

\frac {d^2y} {dt^2}

&=

\tfrac12\left (\frac {1} {y} + \frac {1} {y-1} + \frac {1} {y-t }\\derecho) \left (\frac {dy} {dt} \right) ^2

- \left (\frac {1} {t} + \frac {1} {t-1} + \frac {1} {y-t }\\derecho) \frac {dy} {dt} \\&\\cuatrillizo +

\frac {y (y-1) (y-t)} {T^2 (t-1) ^2 }\

\left (\alpha +\beta\frac {t} {y^2} + \gamma\frac {t-1} {(y-1) ^2} + \delta\frac {t (t-1)} {(y-t) ^2 }\\derecho) \\

Los \end {alinean} </matemáticas> </LI>

</UL>

Los números α, β, γ, δ son constantes complejas. Escalando de nuevo y y t uno puede elegir dos de los parámetros para el tipo III y uno de los parámetros para el tipo V, por tanto estos tipos realmente tienen sólo 2 y 3 parámetros independientes.

Singularidades

Las singularidades posibles de estas ecuaciones son

Para el tipo I, las singularidades son dobles polos (movibles) del residuo 0 y las soluciones todos tienen un número infinito de tales polos en el avión complejo. Las funciones con un doble polo en z tienen la extensión de serie de Laurent

:

la convergencia en alguna vecindad de z (donde h es algún número complejo). La posición de los polos se describió detalladamente por. El número de polos en una pelota de radio R crece aproximadamente como unos tiempos constantes R.

Para el tipo II, las singularidades son todos los polos simples (movibles).

Degeneraciones

Las cinco primeras ecuaciones de Painlevé son degeneraciones de la sexta ecuación.

Más exactamente, algunas ecuaciones son degeneraciones de otros según el diagrama siguiente, que también

da las degeneraciones correspondientes de Gauss función hipergeométrica

Sistemas hamiltonianos

Las ecuaciones Painlevé se pueden todos representar como sistemas hamiltonianos.

Ejemplo: Si ponemos

:

entonces la segunda ecuación de Painlevé

:

es

equivalente al sistema hamiltoniano

:

:

para hamiltoniano

:

Symmetries

Una transformación Bäcklund es una transformación de las variables dependientes e independientes de una ecuación diferencial que la transforma a una ecuación similar. Las ecuaciones Painlevé todos tienen grupos distintos de

Las transformaciones de Bäcklund que afectan a ellos, que pueden ser usados para generar nuevas soluciones de conocido.

El tipo I del ejemplo

El juego de soluciones del tipo I ecuación de Painlevé

:

es interpretado a por la simetría de la orden 5 y ζy, t ζt

donde ζ es una quinta raíz de 1. Hay dos invariante de soluciones bajo esta transformación, un con un polo de la orden 2 en 0, y otro con un cero de la orden 3 en 0.

El tipo II del ejemplo

En el formalismo hamiltoniano del tipo II ecuación de Painlevé

:

con

:

dos transformaciones de Bäcklund da

:

y

:

Éstos ambos tienen la orden 2 y generan un grupo dihedral infinito de transformaciones de Bäcklund (que es de hecho el grupo de Weyl affine de A; véase abajo).

Si b=1/2 entonces la ecuación tiene la solución y=0; la aplicación de las transformaciones de Bäcklund genera a una familia infinita de funciones racionales que son soluciones, como el y=1/t, y=2 (t&minus;2)/t (t&minus;4)...

Okamoto descubrió que el espacio del parámetro de cada ecuación de Painlevé se puede identificar con el subálgebra de Cartan de un álgebra de la Mentira semisimple, tal que las acciones del grupo de Weyl affine levantan a transformaciones de Bäcklund de las ecuaciones. Las álgebras de la Mentira para P, P, P, P, P, P son 0, A, A⊕A, A, A, y D,

Relación a otras áreas

Las ecuaciones Painlevé son todas las reducciones de ecuaciones diferenciales parciales integrables; ver.

Las ecuaciones Painlevé son todas las reducciones del mí ecuaciones de Yang-molinos duales.

Painlevé transcendents aparecen en la teoría de la matriz arbitraria en la fórmula para la distribución de Tracy-Widom, el 2do modelo Ising, el proceso de exclusión simple asimétrico y en la gravedad cuántica de dos dimensiones.

Enlaces externos

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