Soluciones de las ecuaciones del campo de Einstein

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Las soluciones de las ecuaciones del campo de Einstein son spacetimes que resultan de solucionar las Ecuaciones del campo de Einstein (EFE) de relatividad general. La solución de las ecuaciones de campaña realmente da la métrica de Lorentz. Las soluciones ampliamente se clasifican de exactas o no exactas.

Las ecuaciones del campo de Einstein son

:

o más generalmente

:

donde está una constante, y Einstein tensor en la izquierda de la ecuación se compara con la energía de la tensión tensor representación de la energía e ímpetu presente en el spacetime. Einstein tensor se aumenta de tensor métrico y sus derivados parciales; así, los EFE son un sistema de diez ecuaciones diferenciales parciales para solucionarse para el métrico.

Solución de las ecuaciones

Es

importante realizar que las ecuaciones del campo de Einstein solas no son bastante para determinar la evolución de un sistema gravitacional en muchos casos. Dependen de la energía de la tensión tensor, que depende de la dinámica de asunto y energía (como trayectorias de partículas móviles), que por su parte depende del campo gravitatorio. Si uno sólo se interesa en el límite de campaña débil de la teoría, la dinámica de asunto se puede calcular usando métodos de la relatividad especiales y/o leyes newtonianas de la gravedad y luego colocando la energía de la tensión que resulta tensor en las ecuaciones del campo de Einstein. Pero si la solución exacta se requiere o una solución que describe campos fuertes, la evolución del métrico y la energía de la tensión tensor se debe solucionar para juntos.

Para obtener soluciones, las ecuaciones relevantes son susodicho EFE citado (en la una o la otra forma) más la ecuación de continuidad (para determinar la evolución de la energía de la tensión tensor):

:

Esto no es claramente bastante, como hay sólo 14 ecuaciones (10 de las ecuaciones de campaña y 4 de la ecuación de continuidad) para 20 unknowns (10 componentes métricos y 10 energía de la tensión tensor componentes). Las ecuaciones del estado fallan. En el caso más general, es fácil ver que más al menos 6 ecuaciones se requieren, posiblemente más si hay niveles internos de la libertad (como la temperatura) que puede variar a lo largo del tiempo espacial.

En la práctica, es por lo general posible simplificar el problema sustituyendo el juego lleno de ecuaciones del estado con una aproximación simple. Algunas aproximaciones comunes son:

:

: donde

Aquí es la densidad de energía de masas medida en un marco co-móvil momentáneo, es el campo del vector de 4 velocidades del fluido y es la presión.

:

Para un fluido perfecto, otra ecuación de densidad de relación estatal y presión se debe añadir. Esta ecuación a menudo dependerá de la temperatura, por tanto una ecuación de transferencia de calor se requiere o el postulado que la transferencia de calor se puede descuidar.

Después, note que sólo 10 de las 14 ecuaciones originales son independientes, porque la ecuación de continuidad es una consecuencia de las ecuaciones de Einstein. Esto refleja el hecho que el sistema es la invariante de medida y una "fijación de medida" es necesaria, es decir imponga 4 coacciones en el sistema, a fin de obtener resultados inequívocos. Estas coacciones se conocen como condiciones coordinativas.

Una opción popular de la medida es la llamada "medida de De Donder", también conocido como la condición armónica o armónico calibran

:

En la relatividad numérica, la medida preferida es el llamado "3+1 descomposición", basado en el formalismo ADM. En esta descomposición, métrica se escribe en la forma

:, donde

y se puede elegir arbitrariamente. Los niveles físicos restantes de la libertad se contienen en, que representa Riemannian métrico en 3 hipersuperficies.

Una vez que las ecuaciones del estado se eligen y la medida se fija, el juego completo de ecuaciones se puede solucionar para. Lamentablemente, hasta en el caso más simple del campo gravitatorio en el vacío (desapareciendo la energía de la tensión tensor), el problema resulta demasiado complejo para ser exactamente soluble. Para conseguir resultados físicos, podemos dar vuelta o a métodos numéricos; trate de encontrar soluciones exactas imponiendo symmetries; o intente enfoques del terreno neutral como métodos de la perturbación o aproximaciones lineales de Einstein tensor.

Soluciones exactas

Las soluciones exactas son la métrica de Lorentz que son conformes a una energía de la tensión físicamente realista tensor y que se obtienen solucionando el EFE exactamente en la forma cerrada.

No soluciones exactas

Aquellas soluciones que no son exactas se llaman no soluciones exactas. Tales soluciones principalmente se levantan debido a la dificultad de solucionar el EFE en la forma cerrada y a menudo toman la forma de aproximaciones a sistemas ideales. Muchas no soluciones exactas pueden ser carentes del contenido físico, pero servir de contraejemplos útiles a conjeturas teóricas.

Aplicaciones

Hay razones prácticas así como teóricas de estudiar soluciones de las ecuaciones del campo de Einstein.

Desde un punto de vista puramente matemático, es interesante saber el juego de soluciones de las ecuaciones del campo de Einstein. Algunas de estas soluciones son parametrised por uno o varios parámetros.

Véase también



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