Fijación de medida

En la física de teorías de medida, la fijación de medida (también llamado la elección de una medida) denota un procedimiento matemático de enfrentarse con niveles redundantes de la libertad en variables de campaña. Por definición, una teoría de medida representa cada configuración físicamente distinta del sistema como una clase de equivalencia de configuraciones de campaña locales detalladas. Cualquier dos configuración detallada en la misma clase de equivalencia es relacionada por una transformación de medida, equivalente a esquilar a lo largo de hachas no físicas en el espacio de la configuración. La mayor parte de las predicciones físicas cuantitativas de una teoría de medida sólo se pueden obtener según una prescripción coherente para suprimir o no hacer caso de estos niveles no físicos de la libertad.

Aunque las hachas no físicas en el espacio de configuraciones detalladas sean una propiedad fundamental del modelo físico, no hay ningún juego especial de direcciones "el perpendicular" a ellos. De ahí hay una cantidad enorme de la libertad implicada en la toma de un "corte transversal" que representa cada configuración física por una configuración detallada particular (o hasta una distribución ponderada de ellos). La fijación de medida juiciosa puede simplificar cálculos enormemente, pero se hace cada vez más más difícil ya que el modelo físico se hace más realista; su aplicación a la teoría del campo cuántica es llena de complicaciones relacionadas con la nueva normalización, sobre todo cuando el cálculo se sigue a pedidos más altos. Históricamente, la búsqueda de procedimientos de fijación de medida lógicamente consecuentes y computacionalmente manejables y los esfuerzos de demostrar su equivalencia ante una variedad desconcertante de dificultades técnicas, han sido un conductor principal de la física matemática de los fines del siglo diez y nueve al presente.

Libertad de medida

La teoría de medida arquetípica es la formulación de Heaviside-Gibbs de la electrodinámica de serie continua en términos de cuatro potenciales electromagnético, que se presenta aquí en el espacio/tiempo nota de Heaviside asimétrica. El campo eléctrico y el campo magnético de las ecuaciones de Maxwell contienen niveles sólo "físicos" de la libertad, en el sentido que cada nivel matemático de la libertad en una configuración de campaña electromagnética tiene un efecto por separado mensurable en los movimientos de gastos de prueba en las cercanías. Estos "la fuerza de campaña" variables se puede expresar en términos de potencial escalar y el potencial del vector a través de las relaciones:

: y

Note que si se transforma a, entonces permanece sin alterar, desde entonces. Sin embargo, esta transformación cambia como

:.

Si se cambia adelante a, también permanece lo mismo.

De ahí, el y campos son sin alterar si tomamos función y simultáneamente transformamos y vía:

:

:

Una opción particular del escalar y potenciales del vector es una medida (más exactamente, potencial de medida) y se llama una función escalar usada para cambiar la medida una función de medida. La existencia de números arbitrarios de funciones de medida equivale al U (1) libertad de medida de esta teoría. La fijación de medida se puede hacer desde muchos puntos de vista, algunos de los cuales exponemos abajo.

Aunque el electromagnetismo clásico a menudo se diga ahora de como una teoría de medida, al principio no se concibió en estos términos. El movimiento de un precio del punto clásico sólo es afectado por las fuerzas del campo magnético y eléctricas a ese punto, y los potenciales se pueden tratar como un mero dispositivo matemático para simplificar algunas pruebas y cálculos. No antes de que el advenimiento de la teoría del campo cuántica lo podría decirse que los propios potenciales son la parte de la configuración física de un sistema. La consecuencia más temprana para exactamente predecirse y experimentalmente verificarse era el efecto Aharonov-Bohm, que no tiene equivalente clásico. Sin embargo, la libertad de medida todavía es verdad en estas teorías. Por ejemplo, el efecto Aharonov-Bohm depende de una integral de la línea de un alrededor de un circuito cerrado, y esta integral no se cambia por.

La fijación de medida en teorías de medida de non-abelian, como teoría de Yang-molinos y relatividad general, es un tema mejor dicho más complicado; ya que los detalles ven la ambigüedad de Gribov, el fantasma de Faddeev-Popov, y enmarcan el bulto.

Una ilustración

¿

Mirando una vara cilíndrica puede uno contar si se enrosca? Si la vara es absolutamente cilíndrica, entonces la simetría circular del corte transversal hace imposible contar si se enrosca. Sin embargo, si había una línea recta dibujada a lo largo de la vara, entonces uno podría decir fácilmente si hay una torcedura mirando el estado de la línea. El dibujo de una línea es la fijación de medida. El dibujo de la línea estropea la simetría de medida, es decir, la simetría circular U (de 1) del corte transversal a cada punto de la vara. La línea es el equivalente de una función de medida; no tiene que ser directo. Casi cualquier línea es una fijación de medida válida, es decir, hay una libertad de medida grande. Para contar si la vara se enrosca, tiene que saber primero la medida. Las cantidades físicas, como la energía de la torsión, no dependen de la medida, es decir, son la invariante de medida.

Medida de Coulomb

La medida de Coulomb (también conocido como la medida transversal) muy se usa en química cuántica y física de materia condensada y es definida por la condición de medida (más exactamente, condición de fijación de medida)

::

</matemáticas>.

Es

particularmente útil para cálculos "semiclásicos" en la mecánica cuántica, en la cual el potencial del vector se cuantifica pero la interacción de Coulomb no es.

La medida de Coulomb tiene varias propiedades:

(a) Los potenciales se pueden expresar en términos de valores instantáneos de los campos y densidades (en unidades SI)

::

::

</matemáticas>

donde está la densidad de la carga eléctrica, R = |r - r' |, el del actúa sobre r y es el elemento del volumen en r.

La naturaleza instantánea de estos potenciales parece, a primera vista, violar la causalidad, ya que los movimientos de carga eléctrica o campo magnético aparecen en todas partes al instante como cambios en los potenciales. Esto se justifica notando que el escalar y los propios potenciales del vector no afectan los movimientos de gastos, sólo las combinaciones de sus derivados que forman la fuerza de campaña electromagnética. Aunque uno pueda calcular las fuerzas de campaña explícitamente en Coulomb calibran y demuestran que los cambios de ellos se propagan en la velocidad de la luz, es mucho más simple observar que las fuerzas de campaña son sin alterar bajo transformaciones de medida y demostrar la causalidad en el manifiestamente Lorentz covariant medida de Lorenz descrita abajo.

Otra expresión para el potencial del vector, en términos de densidad de la corriente eléctrica retardada por el tiempo J (r, t), se ha obtenido para ser:

::.

(b) Adelante calibre transformaciones que retienen la condición de medida de Coulomb se podría hacer con funciones de medida que satisfacen = 0, pero ya que la única solución de esta ecuación que desaparece en el infinidad (donde se requiere que todos los campos desaparezcan) es = 0, ninguna arbitrariedad de medida permanece. A causa de esto, se dice que la medida de Coulomb es una medida completa, en contraste con medidas donde alguna arbitrariedad de medida permanece, como la medida de Lorenz abajo.

(c) The La medida de Coulomb es una medida mínima en el sentido que la integral de un sobre todo el espacio es mínima para esta medida: todas otras medidas dan una integral más grande. El valor mínimo dado por la medida de Coulomb es

::

{\\mathbf {B} (\mathbf {r}, t) \cdot\mathbf {B} (\mathbf {r'}, t)} {4\pi R} d\mathbf {r} d\mathbf {r' }\

</matemáticas>.

(d) En regiones lejanas de la carga eléctrica el potencial escalar se hace el cero. Esto se conoce como la medida de la radiación. La radiación electromagnética se cuantificó primero en esta medida.

(e) La medida de Coulomb no es Lorentz covariant. Si una transformación de Lorentz a un nuevo marco de inercia se realiza, una transformación de medida adicional se tiene que hacer retener la condición de medida de Coulomb. A causa de esto, la medida de Coulomb no se usa en la teoría de la perturbación covariant, que se ha hecho estándar para el tratamiento de teorías del campo cuánticas relativistas como la electrodinámica cuántica. Las medidas de Lorentz covariant como la medida de Lorenz se usan en estas teorías.

(f) Para un campo magnético uniforme y constante B el potencial del vector en la medida de Coulomb es

::

que se puede confirmar calculando el div y el rizo de A. La divergencia de un en el infinidad es una consecuencia de la asunción no física que el campo magnético es uniforme en todas partes de todo el espacio. Aunque este potencial del vector sea poco realista en general puede proporcionar una aproximación buena al potencial en un volumen finito del espacio en el cual el campo magnético es uniforme.

(g) Como una consecuencia de las consideraciones encima, los potenciales electromagnéticos se pueden expresar en sus formas más generales en términos de campos electromagnéticos como

::

::

donde está un campo escalar arbitrario llamó la función de medida. Los campos que son los derivados de la función de medida se conocen como campos de medida puros y la arbitrariedad asociada con la función de medida se conoce como la libertad de medida. En un cálculo que se realiza correctamente los términos de medida puros no tienen efecto en ningún reconocimiento médico observable. Se dice que una cantidad o la expresión que no depende de la función de medida son la invariante de medida: se requiere que todos observables físicos sean la invariante de medida. Una transformación de medida de la medida de Coulomb a otra medida se hace tomando la función de medida para ser la suma de una función específica que dará la transformación de medida deseada y la función arbitraria. Si la función arbitraria se pone entonces al cero, se dice que la medida se fija. Los cálculos se pueden realizar en una medida fija, pero se deben hacer en un camino que es la invariante de medida.

Medida de Lorenz

Dan la medida de Lorenz, en unidades SI, por:

::

y en unidades de Gaussian por:

::

Se puede volver a escribir en términos de cuatro potenciales electromagnético:

::

Es

único entre las medidas de coacción en retener la manifestación Lorentz invariance. Note, sin embargo, que esta medida al principio se nombró por el físico danés Ludvig Lorenz y no por Hendrik Lorentz; a menudo se escribe mal "medida de Lorentz". (Ninguno era el primero en usarlo en cálculos; fue introducido en 1888 por George F. FitzGerald.)

La medida de Lorenz lleva a las ecuaciones de onda no homogéneas siguientes para los potenciales:

::

::

Se puede ver de estas ecuaciones que, en ausencia de corriente y precio, las soluciones son potenciales que se propagan en la velocidad de la luz.

La medida de Lorenz es incompleta en el sentido que allí permanece un subespacio de transformaciones de medida que conservan la coacción. Estos niveles restantes de la libertad equivalen a funciones de medida que satisfacen la ecuación de onda

::

Estos niveles de medida restantes de la libertad se propagan en la velocidad de la luz. Para obtener una medida totalmente fija, hay que añadir condiciones de frontera a lo largo del cono ligero de la región experimental.

Las ecuaciones de Maxwell en la medida de Lorenz simplifican a, donde está el de cuatro corriente. Dos soluciones de estas ecuaciones para la misma configuración corriente se diferencian por una solución de la ecuación de onda del vacío. En esta forma está claro que los componentes del potencial por separado satisfacen la ecuación de Klein-Gordon, y de ahí que la condición de medida de Lorenz permite transversalmente, longitudinalmente, y ondas polarizadas "parecidas a un tiempo" en el de cuatro potenciales. Las polarizaciones transversales equivalen a la radiación clásica, es decir, ondas transversalmente polarizadas en la fuerza de campaña. Para suprimir los estados de polarización longitudinales y parecidos a un tiempo "no físicos", que no se observan en experimentos en balanzas de la distancia clásicas, también hay que emplear coacciones auxiliares conocidas como personalidades de Ward. Clásicamente, estas identidades son equivalentes a la ecuación de continuidad.

Muchas de las diferencias entre clásico y electrodinámica cuántica pueden ser explicadas por el papel que las polarizaciones longitudinales y parecidas a un tiempo juegan en interacciones entre partículas cargadas a distancias microscópicas.

medidas

Las medidas son una generalización de la medida de Lorenz aplicable a teorías expresadas en términos de principio de acción con la densidad de Lagrangian. En vez de fijar la medida reprimiendo el campo de medida a priori vía una ecuación auxiliar, uno añade al "reconocimiento médico" (calibre la invariante) Lagrangian un término de rotura de medida

::

La opción del parámetro determina la opción de medida. La medida del Landó, obtenida como el límite, es clásicamente equivalente a la medida de Lorenz, pero posponiendo la toma del límite hasta que la teoría se cuantifique mejora el rigor de cierta existencia y pruebas de equivalencia. La mayor parte de cálculos de la teoría del campo cuánticos son los más simples en la medida de Feynman-'t Hooft, en cual; unos cuantos son más manejables en otras medidas, como la medida de Yennie.

Una formulación equivalente de la medida usa un campo auxiliar, un campo escalar sin la dinámica independiente:

::

El campo auxiliar se puede eliminar "completando el cuadrado" para obtener la forma anterior. Desde un punto de vista matemático el campo auxiliar es una variedad de Goldstone boson, y su uso tiene ventajas identificando los estados asintóticos de la teoría, y sobre todo generalizando más allá de QED.

Históricamente, el uso de medidas era un avance técnico significativo en cálculos de la electrodinámica cuánticos que se extienden más allá del pedido de un lazo. Además de retener la manifestación Lorentz invariance, la prescripción rompe la simetría bajo transformaciones de medida locales conservando la proporción de medidas funcionales de cualquier dos configuración de medida físicamente distinta. Esto permite un cambio de variables en las cuales las perturbaciones infinitésimas a lo largo de direcciones "físicas" en el espacio de la configuración completamente se no conectan de aquellos a lo largo de direcciones "no físicas", permitiendo éste absorberse en la normalización físicamente sin sentido de la integral funcional. Cuando es finito, cada configuración física (la órbita del grupo de transformaciones de medida) es representada no por una solución sola de una ecuación de coacción, pero por una distribución de Gaussian centrada en el extremum del término de rotura de medida. En términos de reglas de Feynman de la teoría fijada en la medida, esto aparece como una contribución al propagador del fotón para líneas internas de fotones virtuales de la polarización no física.

El propagador del fotón, que es el factor multiplicative correspondiente a un fotón interno en la extensión del diagrama de Feynman de un cálculo QED, contiene un factor correspondiente a Minkowski métrico. Una extensión de este factor como una suma sobre polarizaciones del fotón implica términos que contienen cuatro polarizaciones posibles. La radiación transversalmente polarizada se puede expresar matemáticamente como una suma sobre una base polarizada en línea recta o sobre circular. Del mismo modo, uno puede combinar las polarizaciones de medida longitudinales y parecidas a un tiempo para obtener polarizaciones "avanzadas" y "atrasadas"; ésta es una forma de coordenadas del cono ligeras en las cuales el métrico es no diagonal. Se llama una extensión del factor en términos de circular polarizado (vuelta +/-1) y coordenadas del cono ligeras una suma de la vuelta. Las sumas de la vuelta pueden ser muy provechosas tanto en la simplificación de expresiones como en la obtención de un entendimiento físico de los efectos experimentales asociados con términos diferentes en un cálculo teórico.

Richard Feynman usó argumentos a lo largo de aproximadamente estas líneas en gran parte para justificar procedimientos de cálculo que produjeron resultados de precisión consecuentes, finitos, altos para parámetros observables importantes como el momento magnético anómalo del electrón. Aunque sus argumentos a veces carecieran del rigor matemático hasta en los estándares de los físicos y encubrieran detalles como la derivación de identidades de la Sala-Takahashi de la teoría cuántica, sus cálculos trabajaron, y Freeman Dyson pronto demostró que su método era considerablemente equivalente a aquellos de Julian Schwinger y Sin-Itiro Tomonaga, con quien Feynman compartió el Premio Nobel de 1965 en la Física.

Expida y la radiación hacia atrás polarizada se puede omitir en los estados asintóticos de una teoría del campo cuántica (ver la identidad de la Sala-Takahashi). Por esta razón, y porque su aspecto en sumas de la vuelta se puede ver como un mero dispositivo matemático en QED (mucho como el de cuatro potenciales electromagnético en la electrodinámica clásica), a menudo se dicen de como "no físicos". Pero a diferencia de los procedimientos de fijación de medida basados en la coacción encima, la medida generaliza bien a grupos de medida de non-abelian como el SU (de 3) de QCD. Los enganches entre hachas de la perturbación físicas y no físicas no desaparecen completamente bajo el cambio correspondiente de variables; para obtener resultados correctos, hay que explicar Jacobian no trivial de la fijación de hachas de libertad de medida dentro del espacio de configuraciones detalladas. Esto lleva al aspecto explícito de la medida polarizada avanzada y atrasada bosons en diagramas de Feynman, junto con fantasmas de Faddeev-Popov, que son aún más "no físicos" en esto violan el teorema de estadística de la vuelta. La relación entre estas entidades y los motivos por qué no aparecen como partículas en el quántum sentido mecánico, se hacen más evidentes en el formalismo BRST de la cuantificación.

Medida de Abelian máxima

En cualquier teoría de medida de non-Abelian, cualquier medida de Abelian máxima es una medida incompleta que fija la libertad de medida fuera del subgrupo de Abelian máximo. Los ejemplos son

:: donde

:: donde

Medidas menos comúnmente usadas

Medida de Weyl

La medida de Weyl (también conocido como la medida hamiltoniana o temporal) es una medida incompleta obtenida por la opción

::

Se nombra por Hermann Weyl.

Medida multipolar

La condición de medida de la medida Multipolar (también conocido como la medida de la Línea, medida del punto o medida de Poincaré) es:

::

donde está el vector de la posición y es el potencial del vector.

Medida de Fock-Schwinger

La condición de medida de la medida de Fock-Schwinger (a veces llamaba la medida de Poincaré relativista) es:

::

donde está la posición de cuatro vectores y es el de cuatro potenciales.

Adelante lectura



Buscar